SCHROEDER'S FUNCTIONAL EQUATION AND GROWTH PROPERTIES OF KOENIGS' EIGENFUNCTIONS

GÜL, Uğur
M.S., Mathematics
Supervisor : Prof. Dr. Aydın AYTUNA
Co-supervisor :
September 2002, 56 pages

Schroeder's functional equation is the eigenvalue equation for the composition operator induced by an analytic self map of the unit disc. In 1884 G. Koenigs obtained analytic solutions of the functional equation when the index function (the function which induces the composition operator) fixes a point in the unit disc and has nonzero derivative there. In 1997 P. Bourdon and J. Shapiro found a sufficient condition for these ''Koenigs solutions'' of Schroeder's functional equation to belong to p-th Hardy space of analytic functions in terms of function-theoretical properties of the index function and its iterates. In the same year P. Poggi-Corradini proved that the sufficient condition of Bourdon and Shapiro is also a necessary condition. In this thesis these results are surveyed.

Keywords : Schroeder's functional equation, Koenigs' eigenfunction, Hardy class of analytic functions, Hardy spaces, Composition operators

SCHROEDER FONKSİYONEL DENKLEMİ VE KOENİGS ÖZGENFONKSİYONLARININ BÜYÜME ÖZELLİKLERİ}

GÜL, Uğur
Yüksek.Lisans., Matematik
Supervisor : Prof. Dr. Aydın AYTUNA
Co-supervisor :
Eylul 2002, 56 sayfa

Schroeder fonksiyonel denklemi, birim daireyi kendisine götüren analitik bir fonksiyon tarafından oluşturulan bileşke işlemcisinin özgendeğer denklemidir. 1884 yılında Gabriel Koenigs indeks fonksiyonunun (bileşke işlemcisini oluşturan fonksiyon) birim dairenin içinde bir noktayı sabitlemesi ve ordaki türevinin sıfırdan farklı olması koşulları altında Schroeder fonksiyonel denkleminin analitik çözümlerini buldu. 1997 yılında P. Bourdon ve J. Shapiro bu ''Koenigs çözümleri'' nin p'inci Hardy uzayında olması için indeks fonksiyonu ve ötelemelerinin gönderim özellikleri cinsinden bir yeter koşul buldular. Aynı yıl P. Poggi-Corradini Bourdon ve Shapironun buldukları bu yeter koşulun aynı zamanda gerek koşul olduğunu kanıtladı. Bu tez, bu sonuçlar hakkında bir izlektir.

Anahtar Kelimeler : Schroeder fonksiyonel denklemi, Koenigs Özgenfonksiyonu, Analitik fonksiyonların Hardy sınıfı , Hardy uzayları , Bileşke işlemcileri