MUT, ÖZNUR
M.S., Mathematics
Supervisor : Prof. Dr. Mahmut Kuzucuoglu
Co-supervisor : -
August 2003, 66 pages

Let P be the set of all prime numbers. For each p in P choose a Sylow p-subgroup Sp=1. If p does not divide the order of any element in G, then choose Sp=1. The set {Sp | p in P} is called a complete set of Sylow subgroups. Clearly in a finite group G, every complete set of Sylow subgroups generates G. The question of Baer whether this is true for locally finite groups is studied. A counter example of a countable locally finite, locally soluble group with finite Sylow subgroups, that has a complete set of Sylow subgroups, which generate a proper subgroup, is given in detail. We also give a detailed and clarified proof of the theorem of Shumyatsky, which states that if G is a periodic almost locally soluble group having an involution f such that CG(f) is of finite rank, then both [G, f]' and G/[G, f] have finite rank. One of the important theorems in locally finite groups due to Shunkov and Kegel-Wherfritz is also given. Namely a locally finite group satisfies the minimum condition on subgroups if and only if it is a Chernikov group.

Keywords : Locally finite groups, Chernikov groups, Sylow subgroups, Minimum condition, Finite rank, Centralizers of elements.

SYLOW ALTGRUPLARI TARAFINDAN ÜRETİLEN YEREL SONLU GRUPLAR VESONLU RANKI OLAN GRUPLAR ÜZERİNE

MUT, ÖZNUR
Yüksek.Lisans., Matematik
Supervisor : Prof. Dr. Mahmut Kuzucuoglu
Co-supervisor : -
Ağustos 2003, 66 sayfa

P bütün asal sayıların kümesi olsun. P kümesindeki her sayı için bir tane Sylow p-altgrubu Sp seçelim. Eğer p, G grubunun herhangi bir elemanının mertebesini bölmüyorsa, o zaman Sp=1 seçelim. {Sp | p,P'nin bir elemanı} kümesine Sylow altgruplarının bir tam kümesi denir. Sonlu bir G grubunda Sylow altgruplarının her tam kümesi G grubunu üretir. Baer’in sorusu bunun yerel sonlu gruplar için doğru olup olmadığıdır. Karşıt örnek olarak sonlu Sylow altgrupları olan sayılabilir, yerel sonlu, yerel çözünebilir bir grup verilmiştir ki bu grubun Sylow alt gruplarının bir tam kümesi has bir alt grup üretir. Aynı zamanda Shumyatsky’nin bir teoreminin açık ve detaylı kanıtını sunuyoruz. Bu teoremde eğer G periyodik kısmi yerel çözünür bir grup, f bu grubun mertebesi iki olan bir elemanı ve CG(f)’de rankı sonlu olan bir grup ise bu durumda [G, f]' ve G/[G,f]’ında ranklarının sonlu olduğu kanıtlanmaktadır. Bu tezde Shunkov ve Kegel-Wherfritz tarafından ispatlanan; yerel sonlu bir grubun alt gruplarının kümesi ’’minimum’’ şartını sağlarsa bu grubun Chernikov olduğunun ispatı açık bir biçimde verilmiştir.

Anahtar Kelimeler : Yerel sonlu gruplar, Chernikov gruplar, Sylow alt gruplar, Minimum şartı, Sonlu rank, Elemanların merkezleri.