YILDIRIM, İREM
M.S., Mathematics
Supervisor : ASSIST.PROF.DR. DAVID PIERCE
Co-supervisor :
December 2003, 53 pages

A difference field M, is a field with a distinguished endomorphism, is called a generic difference field if it is existentially closed among the models of the theory of difference fields. In the language Ld, by a theorem of Hrushovski, it is characterized by the following: M is an algebraically closed field, σ is an automorphism of M, and if W and V are varieties defined over M such that W is a subset of V Uσ (V ) and the projection maps W to V and W to σ (V ) are generically onto, then there is a tuple a in M such that (a; σ (a))is in W. This thesis is a survey on the theory of generic difference fields, called ACFA, which has been studied by Angus Macintyre, Van den Dries, Carol Wood, Ehud Hrushovski and Zoe Chatzidakis. ACFA is the model completion of the theory of algebraically closed difference fields. It is very close to having full quantifier elimination, but it doesn't. We can eliminate quantifiers down to formulas with one quantifier and hence obtain the completions of ACFA. This entails the decidability of the theory ACFA as well as its extensions obtained by specifying the characteristic. The fixed field of σ is a pseudo-finite field.

Keywords : Generic Difference Fields, Generic Automorphisms, ACFA

JENERİK FARK CİSİMLERİNİN TEORİSİ

YILDIRIM, İREM
Yüksek.Lisans., Matematik
Supervisor : ASSIST.PROF.DR. DAVID PIERCE
Co-supervisor :
Aralık 2003, 53 sayfa

Fark cismi M ayIrt edilmiş endomorfizması olan bir cisimdir. Bu cisme eğer fark cisimleri teorisinin modelleri arasında varoluşsal olarak kapalıysa jenerik fark cisimi denir. Ld dilinde Hrushovski'nin bir teoremi ile şu şekilde karakterize edilir: M; cebirsel olarak kapalı bir cisimdir, ; σ M'in bir otomorfizmasıdır, ve eğer W ve V , M'nin üzerinde tanımlanmış öyle değişken kümelerdir ki W alt kümesidir V U σ (V ) ve projeksiyon haritaları W den V ye ve W dan σ (V ) ye jenerik olarak örtendir, o zaman M de öyle bir n-boyutlu Afin uzay noktası a vardır ki (a, σ (a)) W ’nin içindedir. Bu tez ACFA denilen ve Angus Macintyre, Van den Dries, Carol Wood, Ehud Hrushovski ve Zoe Chatzidakis tarafından çalşılan jenerik fark cisimlerinin teorisi üzerine yapılmılmış bir incelemedir. ACFA cebirsel olarak kapalı fark cisimleri teorisinin model tamamlayıcısıdır. Bu teori neredeyse tam niceleyici yokedilmesine sahiptir ama tamamen yok edilemez. Bu teoride biz niceleyicileri ancak bir niceleyiciye kadar yok edebilmekteyiz ve böylece ACFA'in tamamlayıcılarını da elde etmekteyiz. Bu işlem, cismin karakteristiğini de belirleyerek sağlanan genişlemeleri ile birlikte ACFA teorisinin de kararlılığını gerektirir. σ 'nın sabit cismi bir sahte-sonlu cisimdir.

Anahtar Kelimeler : Fark Cismi, Jeneric Otomorfizmalar, ACFA