The composition operator on a Hardy space of the unit disk is bounded for every analytic index function, and the compactness of the operator is closely related with the angular derivative of the index function. Some of the results achieved in Hardy space are extended to the composition operators on weighted Bergman spaces of the unit disk. The compactness and boundedness properties of composition operators between weighted Bergman spaces can be related to the weight functions of the associated spaces. Sufficient conditions to achieve these properties are determined for composition operators between general weighted Bergman spaces, and for the case of exponential and standart weighted Bergman spaces, necessary conditions are also given. Finally, there are some compactness and boundedness results achieved in the setup of Hardy and Bergman spaces on the unit ball of N dimensional complex vector space.

The aim of this work is to survey these facts given above and to make an introduction to the subject 'Composition Operators'.

Keywords: Composition operators, Hardy spaces, Bergman spaces, compactness, boundedness, analytic functions on the unit disk.
 
 

Birim diskte tanımlanmış Hardy uzayları üzerindeki bileşke operatörler, her analitik indeks fonksiyonu için sınırlıdır ve operatörlerin tıkızlı\ğı da indeks fonksiyonunun açısal türeviyle yakından ilişkilidir. Hardy uzaylarında elde edilmiş olan birtakım sonuçlar,  birim diskte tanımlanmış ağirlıklı Bergman uzayları üzerindeki bileşke operatörlerine de genişletilmiştir. Ağırlıklı Bergman uzayları arasındaki bileşke operetörlerin sınırlılık ve tıkızlık özellikleri, ilgili uzayların ağırlık fonksiyonlarıyla ilişkilendirilebilir. Bu özellikleri elde etmeye yeterli koşullar, genel ağırlıklı Bergman uzayları arasındaki bileşke operatörler için belirlenmiştir; üstel ve standart ağırlıklı Bergman uzayları özel durumlarında, gerekli koşullar da verilebilmiştir. En son olarak, N boyutlu compleks vektör uzaylarının birim küresinde tanımlanmış Hardy ve Bergman uzayları üzerine de elde edilmiş birtakım sınırlılık ve tıkızlık sonuçları bulunmaktadır.

Bu çalışmanın amacı yukarıda verilen bilgileri araştırmak ve 'Bileşke Operatörler' konusuna bir giriş yapmaktır.

Anahtar Kelimeler: Bileşke operatörler, Hardy uzayları, Bergman uzayları, tıkızlık, sınırlılık, birim disk üzerinde tanımlı analitik fonksiyonlar.